La mission Villani semble reprendre à son compte les conclusions du rapport TIMMS :
… la question de l’efficacité pédagogique est à mettre en perspective par rapport aux contenus enseignés. C’est ce que Timss met en valeur depuis le début des années 2000, en analysant les systèmes qui ont les meilleurs résultats (et donc Singapour). Dans l’article publié par l’American Federation of Teachers, les auteurs précisent des caractéristiques de ces systèmes :
la cohérence, c’est-à-dire la définition précise des prérequis, essentiellement annuels, pour passer d’un niveau au niveau suivant et la complémentarité des programmes de chaque matière ;
la concision : un programme est d’autant plus efficace qu’il comprend, pour un niveau donné, un nombre raisonnable de nouvelles notions, sous réserve qu’elles soient étudiées de manière suffisamment approfondie. (p. 20 du rapport)
Mais, paradoxalement, elle propose de « cultiver le sens des 4 opérations dès le CP » sans envisager que cette introduction puisse porter atteinte à la « cohérence » d’un programme qui n’envisageait pas jusqu’alors cette approche du nombre.
Michel Delord ( Le rapport Torrosian-Villani lave-t-il plus blanc ?) nous propose trois points de vue convergents sur ce qu’implique cette cohérence :
TIMMS (A coherent curriculum) – 2002
Nous pensons que l’une des caractéristiques les plus importantes déterminant la qualité des programmes scolaires est ce que nous appellerons leur cohérence.
À notre sens, les programmes et contenus scolaires sont cohérents s’ils sont articulés dans le temps comme une suite de sujets et de séquences d’enseignement qui sont logiquement reliés et qui reflètent, là où cela est approprié, l’enchaînement ou la nature hiérarchique des contenus disciplinaires desquels la matière enseignée découle. Cela signifie que ce qui est enseigné aux élèves, de même que la méthode suivie, doivent refléter non seulement les grands thèmes qui relèvent de la discipline académique concernée, mais aussi les idées clé déterminant l’organisation et la genèse des connaissances au sein de cette discipline.
Ceci implique que « pour être cohérent », un ensemble de contenus scolaires doit partir des savoirs particuliers (par exemple, du sens attaché aux nombres entiers et des opérations associées, incluant des faits mathématiques simples et des procédures calculatoires routinières sur les entiers et les fractions), pour aboutir à des structures plus profondes inhérentes à la discipline. Ces dernières fournissent alors le moyen de relier entre eux les savoirs particuliers (tels que la compréhension du système des nombres rationnels et de ses propriétés). Le passage des savoirs particuliers aux structures plus profondes doit s’envisager tout au long de l’année scolaire pour chaque niveau de classe, et aussi au fur et à mesure que l’élève progresse dans sa scolarité.
Ron Aharoni (Arithmetics for parents – 2006 )
Chaque couche [d’un raisonnement mathématique] est établie à son tour et sert de base à la suivante, selon le principe «une chose après l’autre». Il y a d’autres domaines [que les mathématiques] dans lesquels la connaissance est construite sur des connaissances antérieures, mais dans aucun autre domaine, les empilements n’atteignent de telles hauteurs, et les couches les plus hautes ne se basent aussi clairement sur les couches les plus basses.
La première chose à savoir sur l’éducation mathématique est que ce principe d’empilement est vrai non seulement pour les mathématiques avancées, mais aussi pour les mathématiques élémentaires. Là aussi, la connaissance se construit en couches, chacune s’appuyant sur la précédente. Le secret d’un enseignement digne de ce nom consiste à reconnaître explicitement ces couches et à les enseigner [establish] systématiquement.
Une anecdote célèbre de l’histoire des mathématiques fait référence à cette impossibilité des raccourcis. Le héros de l’histoire est Euclide, qui a vécu à Alexandrie entre 350 et 275 av. J.-C. et a écrit Les éléments, le livre de géométrie le plus important de l’antiquité (et peut-être de tous les temps). Entre autres, il y définit les termes «axiome» et «preuve», deux des plus grandes découvertes de la pensée mathématiques.
Ptolémée, le roi d’Égypte à cette époque, a demandé à Euclide ce qui permettait de rendre plus facile la lecture de son livre. « Il n’y a pas de route royale vers les mathématiques », a répondu ce dernier.
Même les rois ne peuvent pas sauter les étapes [Stobaeus, historien grec du 5e siècle, attribue la même histoire à différents personnages: par exemple à Alexandre le Grand et son maître, Menaechmus].
C’est aussi vrai pour les mathématiques élémentaires. Comme il s’agit du bas de l’empilement, le nombre de couches qu’il met en place est plus petit que celui correspondant aux longues chaînes d’arguments des mathématiques supérieures. C’est l’une des raisons pour lesquelles cet empilement est accessible aux enfants et conforme à leurs capacités. Dans un autre sens, cependant, cet enseignement est plus difficile. Certaines de ses couches sont cachées et difficiles à discerner, comme si elles étaient construites sous l’eau et donc difficiles à voir. Les repérer nécessite une observation attentive. Il est donc facile de ne pas se rendre compte de leurs existences et d’omettre en conséquence leur enseignement explicite. Les mathématiques à l’école élémentaire ne sont pas sophistiquées, mais elles sont porteuses de sagesse. Elles ne sont pas complexes mais profondes.
Les chercheurs en éducation utilisent le terme «anxiété mathématique». Il n’y a pas d’anxiété liée à l’histoire, ni d’anxiété liée à la géographie, mais il y a de l’anxiété en mathématiques. Pourquoi? La raison principale réside dans la structure en couches de cette matière: l’anxiété mathématique survient lorsqu’une étape est sautée sans que l’on s’en rende compte. Comme indiqué supra, de nombreuses couches de connaissances mathématiques sont si élémentaires qu’elles sont souvent faciles à manquer.
Lorsque cela se produit et que l’on essaie d’établir une nouvelle couche par-dessus la couche manquante, ni l’enseignant ni l’étudiant ne peuvent discerner l’origine du problème. L’élève entend quelque chose qui n’a pas de sens pour lui, puisqu’il n’est «probablement pas encore prêt». L’enseignant est également perplexe, puisqu’il ne peut identifier la source de la difficulté. Quand on ne comprend pas l’origine d’un problème, la peur n’est pas concentrée et l’angoisse est née.
Une telle « couche » n’a pas obligatoirement besoin d’être une connaissance explicite. Parfois, c’est l’acquisition de l’expérience. Par exemple, pour acquérir le concept du nombre, il faut avoir une grande expérience du comptage. L’esprit d’un enfant qui compte se modifie simplement sous l’effet du fait qu’il compte.
On a donc affaire à une aptitude qui se construit progressivement et qui nécessite un investissement en temps et en efforts même si ses résultats n’en sont pas immédiatement apparents et quantifiables.
On ne peut pas parler d’anxiété mathématique sans mentionner aussi l’envers de la médaille – la joie des mathématiques. De même que l’anxiété n’est associée à aucune autre discipline, le bonheur qui irradie le visage de l’enfant qui comprend un principe mathématique ne se voit dans aucune autre matière. Il y a probablement un lien entre les deux phénomènes.
Suzanne Herbinière-Lebert ( préface de Fareng_Apprentissage-du-calcul-5-7ans-1966 )
Bref, les débuts du calcul se placent avant les débuts de la lecture parce qu’ils sont, en quelque sorte, intégrés dans l’expérience quotidienne.
Cependant cet intérêt spontané des enfants pour les nombres s’arrête dès que les difficultés apparaissent, si elles ne sont pas abordées dans l’ordre rigoureux qui convient.
Plus que n’importe quelle science, le calcul exige un bon apprentissage. Il faut connaître l’ordre des étapes et n’en brûler aucune. La solidité de la chaîne est liée à celle de tous ses maillons ; si un seul faiblit, tout est compromis.
Rien de plus facile si l’on prend le bon chemin. Mais rien n’est plus difficile que de corriger les erreurs initiales ».
Miche Delord en tire cette conclusion partielle :
Les trois points de vue sur la « cohérence », celui de Suzanne Herbinière-Lebert, celui du TIMSS celui de Ron Aharoni, sont parfaitement complémentaires [].
Mais on peut d’ores et déjà remarquer, en s’appuyant notamment sur le point de vue développé par Ron Aharoni, que toute volonté de remédiation d’une situation d’anxiété mathématique ne s’appuyant pas sur la mise en place d’une cohérence adaptée au niveau de raisonnement de l’élève est au mieux inefficace. Elle est même plus probablement nocive car elle aggrave l’insécurité argumentative et l’anxiété de l’élève puisque alors que la mémoire de l’élève est déjà surchargée de faits hétéroclites et non organisés, on lui en rajoute une couche supplémentaire.
Ainsi avoir l’objectif de « mettre l’élève en activité » sans plus de précisions, directive (plus que) très longtemps dominante, a probablement été un des facteurs principaux de croissance de l’anxiété mathématique. Et rien ne prouve que la situation ait fondamentalement changé, ce qui laisse une marge très confortable d’amélioration possible.
On peut faire le même type de remarque pour la recommandation de tout type d’activité si elle n’est pas fondamentalement accompagnée ou dirigée par une perspective de construction de la rationalité de l’élève. Ceci vaut bien sûr pour la conception des mathématiques exclusivement comme résolution de problèmes, exclusivement comme un jeu ou pour la mise en avant du calcul mental « parce qu’il y aurait moins de règles que dans le calcul écrit comme nous l’explique ERMEL».
On a donc une riche gamme d’activités recommandées depuis des années comme solutions souriantes et progressistes à la crise de l’enseignement des mathématiques qui, et encore plus par effet cumulatif sur les cinquante dernières années, ont contribué et contribuent encore l’impossibilité pour l’élève de construire sa propre raison et le plongent dans la dé-raison.
L’activisme mathématique invente le mouvement perpétuel : vous lancez la machine en offrant à l’élève une pléiade d’activités sans liens entre elles ou sans liens explicites entre elles. Le jour où cet élève oubliant est saisi par « l’angoisse des mathématiques », ce qui va sûrement arriver, vous lui proposez une nouvelle série d’activités (encore moins organisée pour lui donner confiance ?). Le système ne peut plus s’arrêter et l’on introduit ainsi la remédiation tout au long de la vie, le public et le privé se disputant pour conquérir ce nouveau marché.